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 = entropia reversível

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$$
{\ displaystyle U = {\ sum _ {n} \ hbar \ omega ne ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} \ over \ sum _ {n} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega}} = {\ hbar \ omega e ^ {- \ beta \ hbar \ omega} \ over 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}}, \; \; \; {\ rm {onde}} \; \; \ beta = {\ frac {1} {kT}},}

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{\ Displaystyle 2 \ int _ {- {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}} ^ {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}} {\ sqrt {2m \ left (E- { \ frac {1} {2}} kx ^ {2} \ right)}} \ dx = nh}

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A velha teoria quântica foi desencadeada pelo trabalho de Max Planck, de 1900, sobre a emissão e absorção de luz, e começou a sério após o trabalho de Albert Einstein sobre os calores específicos dos sólidos. Einstein, seguido por Debye, aplicou princípios quânticos ao movimento dos átomos, explicando a anomalia específica do calor.

Em 1913, Niels Bohr identificou o princípio da correspondência e usou-o para formular um modelo do átomo de hidrogênio que explicava o espectro da linha . Nos próximos anos, Arnold Sommerfeld estendeu a regra quântica a sistemas integráveis ​​arbitrários, fazendo uso do princípio da invariância adiabática dos números quânticos introduzidos por Lorentz e Einstein. Sommerfeld fez uma contribuição crucial ^[5] quantizando o componente z do momento angular , que na era quântica antiga era chamado de quantização espacial.(Richtungsquantelung). Isso permitiu que as órbitas do elétron fossem elipses em vez de círculos e introduziu o conceito de degeneração quântica . A teoria teria explicado corretamente o efeito Zeeman , exceto pela questão do spin do elétron . O modelo de Sommerfeld estava muito mais próximo do quadro da mecânica quântica moderna do que o de Bohr.

Ao longo dos anos 1910 e até os anos 1920, muitos problemas foram atacados usando a antiga teoria quântica com resultados mistos. A rotação molecular e os espectros de vibração foram compreendidos e o spin do elétron foi descoberto, levando à confusão dos números quânticos de meio inteiro. Max Planck introduziu a energia do ponto zero e Arnold Sommerfeld quantizou semiclasicamente o átomo de hidrogênio relativista. Hendrik Kramers explicou o efeito Stark . Bose e Einstein deram as estatísticas quânticas corretas para os fótons.

Kramers deu uma receita para o cálculo das probabilidades de transição entre estados quânticos em termos dos componentes de Fourier do movimento, idéias que foram estendidas em colaboração com Werner Heisenberg para uma descrição semiclássica semelhante a uma matriz de probabilidades de transição atômica. Heisenberg continuou a reformular toda a teoria quântica em termos de uma versão dessas matrizes de transição, criando a mecânica matricial .

Em 1924, Louis de Broglie introduziu a teoria ondulatória da matéria, que foi estendida para uma equação semiclássica para as ondas da matéria por Albert Einstein pouco tempo depois. Em 1926, Erwin Schrödinger encontrou uma equação de onda completamente quântica, que reproduziu todos os sucessos da antiga teoria quântica sem ambiguidades e inconsistências. A mecânica de onda de Schrödinger desenvolveu-se separadamente da mecânica matricial até que Schrödinger e outros provaram que os dois métodos previram as mesmas conseqüências experimentais. Paul Dirac provou mais tarde, em 1926, que ambos os métodos podem ser obtidos a partir de um método mais geral chamado teoria da transformação .

Na década de 1950, Joseph Keller atualizou a quantização de Bohr-Sommerfeld usando a interpretação de Einstein de 1917, ^[6] hoje conhecida como método de Einstein-Brillouin-Keller . Em 1971, Martin Gutzwiller levou em conta que este método só funciona para sistemas integráveis ​​e derivou uma maneira semiclássica de quantizar sistemas caóticos a partir de integrais de caminho . ^[7]

Princípios Básicos [ edit ]

A idéia básica da antiga teoria quântica é que o movimento em um sistema atômico é quantizado, ou discreto. O sistema obedece a mecânica clássica, exceto que nem todo movimento é permitido, apenas os movimentos que obedecem à condição de quantização :

$${\ displaystyle \ oint \ limits _ {H (p, q) = E} p_ {i} \, dq_ {i} = n_ {i} h}

onde o $${\ displaystyle p_ {i}} são o momento do sistema e o $${\ displaystyle q_ {i}}são as coordenadas correspondentes. Os números quânticos$${\ displaystyle n_ {i}}são inteiros e a integral é tomada em um período do movimento em energia constante (como descrito pelo Hamiltoniano ). A integral é uma área no espaço de fase, que é uma quantidade chamada ação e é quantizada em unidades da constantede Planck . Por essa razão, a constante de Planck era freqüentemente chamada de quantum de ação .

Para que a antiga condição quântica faça sentido, o movimento clássico deve ser separável, o que significa que existem coordenadas separadas $${\ displaystyle q_ {i}}em termos de qual a moção é periódica. Os períodos dos diferentes movimentos não precisam ser os mesmos, eles podem até ser incomensuráveis, mas deve haver um conjunto de coordenadas onde o movimento se decompõe de maneira multi-periódica.

A motivação para a antiga condição quântica era o princípio da correspondência , complementado pela observação física de que as quantidades quantificadas devem ser invariantes adiabáticos . Dada a regra de quantização de Planck para o oscilador harmônico, ambas as condições determinam a quantidade clássica correta para quantizar em um sistema geral até uma constante aditiva.

Essa condição de quantização é geralmente conhecida como a regra de Wilson-Sommerfeld , ^[8] proposta independentemente por William Wilson ^[9] e Arnold Sommerfeld. ^[10]

Exemplos [ editar ]

Propriedades térmicas do oscilador harmônico [ editar ]

O sistema mais simples da antiga teoria quântica é o oscilador harmônico , cujo Hamiltoniano é:

$${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ mais de 2m} + {m \ omega ^ {2} q ^ {2} \ over 2}.}

A antiga teoria quântica produz uma receita para a quantificação dos níveis de energia do oscilador harmônico, que, quando combinado com a distribuição de probabilidade de Termodinâmica de Boltzmann, produz a expressão correta para a energia armazenada e calor específico de um oscilador quântico tanto em baixa como em a temperaturas normais. Aplicado como um modelo para o calor específico dos sólidos, isso resolveu uma discrepância na termodinâmica pré-quântica que perturbou os cientistas do século XIX. Vamos agora descrever isso.

Os conjuntos de níveis de H são as órbitas, e a condição quântica é que a área delimitada por uma órbita no espaço de fase é um número inteiro. Segue-se que a energia é quantizada de acordo com a regra de Planck:

$${\ displaystyle E = n \ hbar \ omega, \,}

um resultado que foi bem conhecido antes e usado para formular a antiga condição quântica. Este resultado difere$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega}dos resultados encontrados com a ajuda da mecânica quântica . Essa constante é negligenciada na derivação da antiga teoria quântica , e seu valor não pode ser determinado usando-a.

As propriedades térmicas de um oscilador quantificado podem ser encontradas pela média da energia em cada um dos estados discretos, assumindo que eles estão ocupados com um peso de Boltzmann :

$${\ displaystyle U = {\ sum _ {n} \ hbar \ omega ne ^ {- \ beta n \ hbar \ omega} \ over \ sum _ {n} e ^ {- \ beta n \ hbar \ omega}} = {\ hbar \ omega e ^ {- \ beta \ hbar \ omega} \ over 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}}, \; \; \; {\ rm {onde}} \; \; \ beta = {\ frac {1} {kT}},}

kT é Boltzmann vezes constantes a temperatura absoluta , que é a temperatura medida em unidades de energia mais naturais. A quantidade$${\ displaystyle \ beta}é mais fundamental na termodinâmica do que a temperatura, porque é o potencial termodinâmico associado à energia.

A partir dessa expressão, é fácil ver que, para grandes valores de $${\ displaystyle \ beta}para temperaturas muito baixas, a energia média U no oscilador Harmônico aproxima-se de zero muito rapidamente, exponencialmente rápido. A razão é que kT é a energia típica de movimento aleatório à temperatura T, e quando isso é menor que$${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar \ omega}, não há energia suficiente para dar ao oscilador nem mesmo um quantum de energia. Assim, o oscilador permanece em seu estado fundamental, armazenando quase nenhuma energia.

Isso significa que, em temperaturas muito baixas, a mudança na energia em relação ao beta, ou equivalentemente a mudança na energia em relação à temperatura, também é exponencialmente pequena. A mudança de energia em relação à temperatura é o calor específico , então o calor específico é exponencialmente pequeno a baixas temperaturas, indo para zero como

$${\ displaystyle \ exp (- \ hbar \ omega / kT)}

Em pequenos valores de $${\ displaystyle \ beta}, a altas temperaturas, a energia média U é igual a $${\ displaystyle 1 / \ beta = kT}. Isso reproduz o teorema da equipartição da termodinâmica clássica: cada oscilador harmônico na temperatura T tem energia kT em média. Isso significa que o calor específico de um oscilador é constante na mecânica clássica e igual a  k . Para uma coleção de átomos conectados por molas, um modelo razoável de um sólido, o calor específico total é igual ao número total de osciladores vezes  k . Existem, em geral, três osciladores para cada átomo, correspondendo às três direções possíveis de oscilações independentes em três dimensões. Assim, o calor específico de um sólido clássico é sempre 3k por átomo, ou em unidades de química, 3R por mole de átomos.

Sólidos monoatômicos em temperatura ambiente têm aproximadamente o mesmo calor específico de 3k por átomo, mas em baixas temperaturas eles não. O calor específico é menor em temperaturas mais frias e vai para zero no zero absoluto. Isso vale para todos os sistemas materiais, e essa observação é chamada de terceira lei da termodinâmica . A mecânica clássica não pode explicar a terceira lei, porque na mecânica clássica o calor específico é independente da temperatura.

Essa contradição entre a mecânica clássica e o calor específico dos materiais frios foi notada por James Clerk Maxwell no século XIX, e permaneceu um enigma profundo para aqueles que defendiam uma teoria atômica da matéria. Einstein resolveu esse problema em 1906, propondo que o movimento atômico é quantizado. Esta foi a primeira aplicação da teoria quântica em sistemas mecânicos. Pouco depois, Peter Debye deu uma teoria quantitativa de calores específicos sólidos em termos de osciladores quantificados com várias frequências (ver Einstein solid e Debye model ).

Potencial unidimensional: U = 0 [ editar ]

Problemas unidimensionais são fáceis de resolver. Em qualquer energia E , o valor do momento p é encontrado a partir da equação de conservação:

$${\ displaystyle {\ sqrt {2m (EV (q))}} = p}

que é integrado em todos os valores de q entre os pontos de virada clássicos , os lugares onde o momento desaparece. A integral é mais fácil para uma partícula em uma caixade comprimento L , onde a condição quântica é:

$${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {L} p \, dq = nh}

que dá o momenta permitido:

$${\ displaystyle p = {nh \ over 2L}}

e os níveis de energia

$${\ displaystyle E_ {n} = {p ^ {2} \ acima de 2m} = {n ^ {2} h ^ {2} \ acima de 8mL ^ {2}}}

Potencial unidimensional: U = Fx [ edit ]

Outro caso fácil de resolver com a antiga teoria quântica é um potencial linear na linha média positiva, a força de confinamento constante F que liga uma partícula a uma parede impenetrável. Este caso é muito mais difícil no tratamento mecânico quântico completo, e ao contrário dos outros exemplos, a resposta semiclássica aqui não é exata, mas aproximada, tornando-se mais precisa em grandes números quânticos.

$${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {E} {F}} {\ sqrt {2m (E-Fx)}} \ dx = nh}

de modo que a condição quântica é

$${\ displaystyle {4 \ over 3} {\ sqrt {2m}} {E ^ {3/2} \ over F} = nh}

que determina os níveis de energia,

$${\ displaystyle E_ {n} = \ left ({3nhF \ acima de 4 {\ sqrt {2m}}} \ right) ^ {2/3}}

No caso específico F = mg, a partícula é confinada pelo potencial gravitacional da terra e a "parede" aqui é a superfície da terra.

Potencial unidimensional: U = ½kx² [ editar ]

Este caso também é fácil de resolver, e a resposta semiclássica aqui concorda com a resposta quântica dentro da energia do estado fundamental. Sua integral de quantização-condição é

$${\ Displaystyle 2 \ int _ {- {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}} ^ {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}} {\ sqrt {2m \ left (E- { \ frac {1} {2}} kx ^ {2} \ right)}} \ dx = nh}

com solução

$${\ displaystyle E = n {\ frac {h} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} = n \ hbar \ omega}

para frequência angular de oscilação $${\ displaystyle \ omega}, como antes.

Rotador [ edit ]

Outro sistema simples é o rotador. Um rotator consiste em uma massa M no final de uma haste rígida sem massa de comprimento R e em duas dimensões tem o Lagrangeano:

$${\ displaystyle L = {MR ^ {2} \ over 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}}

que determina que o momento angular J conjugado para$${\ displaystyle \ theta}, O ângulo polar ,$${\ displaystyle \ scriptstyle J = MR ^ {2} {\ dot {\ theta}}}. A antiga condição quântica requer que J seja multiplicado pelo período de$${\ displaystyle \ theta} é um inteiro múltiplo da constante de Planck:

$${\ displaystyle 2 \ pi J = nh \,}

o momento angular para ser um múltiplo inteiro de $${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar}. No modelo de Bohr , essa restrição imposta às órbitas circulares era suficiente para determinar os níveis de energia.

Em três dimensões, um rotor rígido pode ser descrito por dois ângulos - $${\ displaystyle \ scriptstyle \ theta} e $${\ displaystyle \ scriptstyle \ phi}, Onde $${\ displaystyle \ scriptstyle \ theta}é a inclinação relativa a um eixo z arbitrariamente escolhido enquanto$${\ displaystyle \ scriptstyle \ phi}é o ângulo do rotor na projeção para o plano x - y . A energia cinética é novamente a única contribuição para o Lagrangiano:

$${\ displaystyle L = {MR ^ {2} \ acima de 2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {MR ^ {2} \ acima de 2} (\ sin (\ theta) {\ dot {\ phi}}) ^ {2} \,}

E o momenta conjugado é $${\ displaystyle \ scriptstyle p _ {\ theta} = {\ dot {\ theta}}} e $${\ displaystyle \ scriptstyle p _ {\ phi} = \ sin (\ theta) ^ {2} {\ dot {\ phi}}}. A equação de movimento para$${\ displaystyle \ scriptstyle \ phi} é trivial: $${\ displaystyle \ scriptstyle p _ {\ phi}} é uma constante:

$${\ displaystyle p _ {\ phi} = l _ {\ phi} \,}

que é o componente z do momento angular. A condição quântica exige que a integral da constante$${\ displaystyle \ scriptstyle l _ {\ phi}} Como $${\ displaystyle \ scriptstyle \ phi} varia de 0 a $${\ displaystyle 2 \ pi}é um múltiplo inteiro de h :

$${\ displaystyle l _ {\ phi} = m \ hbar \,}

E m é chamado de número quântico magnético , porque o componente z do momento angular é o momento magnético do rotador ao longo da direção z, no caso em que a partícula no final do rotador é carregada.

Como o rotator tridimensional está girando em torno de um eixo, o momento angular total deve ser restringido da mesma maneira que o rotator bidimensional. As duas condições quânticas restringem o momento angular total e o componente z do momento angular a serem os inteiros l , m . Essa condição é reproduzida na mecânica quântica moderna, mas na era da antiga teoria quântica levou a um paradoxo: como a orientação do momento angular em relação ao eixo- Z arbitrariamente escolhido pode ser quantizada? Isso parece escolher uma direção no espaço.

Este fenômeno, a quantização do momento angular em torno de um eixo, recebeu a quantização do espaço de nomes , porque parecia incompatível com a invariância rotacional. Na mecânica quântica moderna, o momento angular é quantizado da mesma maneira, mas os estados discretos de momento angular definido em qualquer orientação são superposições quânticas dos estados em outras orientações, de modo que o processo de quantização não seleciona um eixo preferido. Por essa razão, o nome "quantização espacial" caiu em desuso, e o mesmo fenômeno é agora chamado de quantização do momento angular.

Átomo de hidrogênio [ editar ]

A parte angular do átomo de hidrogênio é apenas o rotador e fornece os números quânticos l e m . A única variável remanescente é a coordenada radial, que executa um movimento potencial unidimensional periódico, que pode ser resolvido.

Para um valor fixo do momento angular total L , o Hamiltoniano para um problema clássico de Kepler é (a unidade de massa e unidade de energia redefinida para absorver duas constantes):

$${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over 2} + {l ^ {2} \ over 2r ^ {2}} - {1 \ over r}.}

Fixando a energia para ser (uma negativa) constante e resolvendo para o momento radial p , a integral da condição quântica é:

$${\ displaystyle 2 \ oint {\ sqrt {2E- {l ^ {2} \ over r ^ {2}} + {2 \ over r}}} \ dr = kh}

que pode ser resolvido com o método dos resíduos, ^[5] e dá um novo número quântico$${\ displaystyle k} que determina a energia em combinação com $${\ displaystyle l}. A energia é:

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2 (k + l) ^ {2}}}

e só depende da soma de k e l , que é o número quântico principal n . Como k é positivo, os valores permitidos de l para qualquer dado n não são maiores que n . As energias reproduzem aquelas no modelo de Bohr , exceto com as multiplicidades da mecânica quântica corretas, com alguma ambigüidade nos valores extremos.

O átomo de hidrogênio semiclássico é chamado de modelo Sommerfeld e suas órbitas são elipses de vários tamanhos com inclinações discretas. O modelo de Sommerfeld previu que o momento magnético de um átomo medido ao longo de um eixo assumirá apenas valores discretos, um resultado que parece contradizer a invariância rotacional, mas que foi confirmado pelo experimento de Stern-Gerlach . Esta teoria de Bohr-Sommerfeld é um passo significativo no desenvolvimento da mecânica quântica . Também descreve a possibilidade de os níveis de energia atômica serem divididos por um campo magnético (chamado de efeito Zeeman ).

Órbita relativista [ editar ]

Arnold Sommerfeld derivou a solução relativista dos níveis de energia atômica. ^[5] Vamos começar esta derivação ^[11] com a equação relativista de energia no potencial elétrico.

$${\ displaystyle W = {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2 }}}}}} - 1 \ right) -k {\ frac {Ze ^ {2}} {r}}}

Após a substituição $${\ displaystyle u = {\ frac {1} {r}}} Nós temos

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = 1 + {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} + k {\ frac {Ze ^ {2}} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} u}

Para o momentum $${\ displaystyle p _ {\ mathrm {r}} = m {\ dot {r}}}, $${\ displaystyle p _ {\ mathrm {\ varphi}} = mr ^ {2} {\ dot {\ varphi}}} e sua relação $${\ displaystyle {\ frac {p _ {\ mathrm {r}}} {p _ {\ mathrm {\ varphi}}} = - {\ frac {du} {d \ varphi}}}a equação do movimento é (veja a equação de Binet )

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ varphi ^ {2}}} = - \ left (1-k ^ {2} {\ frac {Z ^ {2} e ^ {4} } {c ^ {2} p _ {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2}}} \ right) u {\ frac {m _ {\ mathrm {0}} kZe ^ {2}} {p _ {\ mathr { \ varphi}} ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} \ right) = - \ omega _ {\ mathrm {0 }} ^ {2} u + K}

com solução

$${\ displaystyle u = {\ frac {1} {r}} = K + A \ cos \ omega _ {\ mathrm {0}} \ varphi}

O deslocamento angular da periapsia por revolução é dado por

$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {s}} = 2 \ pi \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {\ mathrm {0}}}} - 1 \ right) \ aproximadamente 4 \ pi ^ {3} k ^ {2} {\ frac {Z ^ {2} e ^ {4}} {c ^ {2} n _ {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2} h ^ {2}}}}

Com as condições quânticas

$${\ displaystyle \ oint p _ {\ mathrm {\ varphi}} \, d \ varphi = 2 \ pi p _ {\ mathrm {\ varphi}} = n _ {\ mathrm {\ varphi}} h}

e

$${\ displaystyle \ oint p _ {\ mathrm {r}} \, dr = p _ {\ mathrm {\ varphi}} \ oint \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} \, d \ varphi = n _ {\ mathrm {r}} h}

vamos obter energias

$${\ displaystyle {\ frac {W} {m _ {\ mathrm {0}} c ^ {2}}} = \ left (1 + {\ frac {\ alpha ^ {2} Z ^ {2}} {(n_ {\ mathrm {r}} + {\ sqrt {n} {\ mathrm {\ varphi}} ^ {2} - \ alpha ^ {2} Z ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right) ^ {-1/2} -1}

Onde $${\ displaystyle \ alpha}é a constante de estrutura fina . Esta solução (usando substituições para números quânticos) é equivalente à solução da equação de Dirac . ^[12] No entanto, ambas as soluções não conseguem prever os desvios de cordeiro .

Ondas De Broglie [ editar ]

Em 1905, Einstein observou que a entropia dos osciladores de campo eletromagnético quantificados em uma caixa é, para um comprimento de onda curto, igual à entropia de um gás de partículas pontuais na mesma caixa. O número de partículas pontuais é igual ao número de quanta. Einstein concluiu que os quanta podiam ser tratados como se fossem objetos localizáveis ​​(veja ^[13] página 139/140), partículas de luz, e os chamavam de fótons .

O argumento teórico de Einstein baseou-se na termodinâmica , na contagem do número de estados e, portanto, não foi completamente convincente. No entanto, ele concluiu que a luz tinha atributos de ondas e partículas , mais precisamente que uma onda eletromagnética com freqüência$${\ displaystyle \ omega} com a energia quantizada:

$${\ displaystyle E = n \ hbar \ omega \,}

deve ser pensado como consistindo de n fótons, cada um com uma energia $${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar \ omega}. Einstein não conseguiu descrever como os fótons estavam relacionados à onda.

Os fótons têm tanto momento quanto energia, e o momento tem que ser $${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar k} Onde $${\ displaystyle k}é o número de onda da onda eletromagnética. Isso é requerido pela relatividade, porque o momento e a energia formam um vetor de quatro , assim como a frequência e o número de ondas.

Em 1924, como candidato a doutorado, Louis de Broglie propôs uma nova interpretação da condição quântica. Ele sugeriu que todas as matérias, elétrons e fótons, são descritas pelas ondas que obedecem às relações.

$${\ displaystyle p = \ hbar k}

ou, expresso em termos de comprimento de onda $${\ displaystyle \ lambda} em vez de,

$${\ displaystyle p = {h \ over \ lambda}}

Ele então notou que a condição quântica:

$${\ displaystyle \ int p \, dx = \ hbar \ intk \, dx = 2 \ pi \ hbar n}

conta a mudança de fase para a onda enquanto ela viaja ao longo da órbita clássica, e requer que seja um múltiplo inteiro de $${\ displaystyle 2 \ pi}. Expresso em comprimentos de onda, o número de comprimentos de onda ao longo de uma órbita clássica deve ser um inteiro. Essa é a condição para a interferência construtiva, e explicou a razão para as órbitas quantificadas - as ondas da matéria formam ondas estacionárias apenas em freqüências discretas, em energias discretas.

Por exemplo, para uma partícula confinada em uma caixa, uma onda estacionária deve se ajustar a um número inteiro de comprimentos de onda entre o dobro da distância entre as paredes. A condição se torna:

$${\ displaystyle n \ lambda = 2L \,}

para que o momento quantizado seja:

$${\ displaystyle p = {\ frac {nh} {2L}}}

reproduzindo os antigos níveis de energia quântica.

Este desenvolvimento foi dado uma forma mais matemática por Einstein, que observou que a função de fase para as ondas: $${\ displaystyle \ theta (J, x)}em um sistema mecânico deve ser identificado com a solução da equação de Hamilton-Jacobi , uma equação que até William Rowan Hamilton acreditava ser um limite de curto comprimento de onda de uma espécie de mecânica de ondas no século XIX. Schrodinger então encontrou a equação de onda apropriada que combinava com a equação de Hamilton-Jacobi para a fase, esta é a famosa equação .

Matriz de transição de Kramers [ editar ]

A velha teoria quântica foi formulada apenas para sistemas mecânicos especiais que poderiam ser separados em variáveis ​​de ângulo de ação que eram periódicas. Não lidou com a emissão e absorção de radiação. No entanto, Hendrik Kramers conseguiu encontrar heurísticas para descrever como a emissão e a absorção deveriam ser calculadas.

Kramers sugeriu que as órbitas de um sistema quântico deveriam ser analisadas por Fourier, decompostas em harmônicas em múltiplos da freqüência da órbita:

$${\ displaystyle X_ {n} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ik \ omega t} X_ {n; k}}

O índice n descreve os números quânticos da órbita, seria n - l - m no modelo de Sommerfeld. A frequência$${\ displaystyle \ omega} é a frequência angular da órbita $${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ pi / T_ {n}}enquanto k é um índice para o modo de Fourier. Bohr sugeriu que o k- ésimo harmônico do movimento clássico corresponde à transição do nível n para o nível n - k .

Kramers propôs que a transição entre os estados fosse análoga à emissão clássica de radiação, que acontece em frequências em múltiplos das freqüências de órbita. A taxa de emissão de radiação é proporcional à $${\ displaystyle | X_ {k} | ^ {2}}, como seria na mecânica clássica. A descrição foi aproximada, uma vez que os componentes de Fourier não tinham frequências que correspondessem exatamente aos espaçamentos de energia entre os níveis.

Essa ideia levou ao desenvolvimento da mecânica matricial .

Estadologia Graceli – 4. E princípio entrópico tempo / instabilidade.


Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.


Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.



Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.


Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.


Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.


A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.


Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.


Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.


Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.


Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.


Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.


Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.


Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo,  e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.


Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.



a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.



that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.



and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.



but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.



as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

 = entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.


todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Matriz categorial de Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].